해석학/실해석학 (3) 썸네일형 리스트형 콤팩트성(compactness)은 상대적인 개념이 아니라 절대적인 개념이다 정리. $K\subset Y\subset X$라 하자. $K$가 $X$에 상대적(relative to $X$)으로 콤팩트(compact)인 것은 $K$가 $Y$에 상대적으로 콤팩트인 것과 필요충분조건이다. 증명. $K$를 $X$에 상대적인 콤팩트 집합이라 가정하자. $ \left\{V_{\alpha}\right\}$를 $Y$에 상대적인 열린 집합들의 집합족이고 $K \subset \cup_{\alpha}$를 만족한다고 하자. 그러면 $X$에 상대적인 열린집합들의 집합족 $\left\{G_{\alpha}\right\}$가 존재해서 모든 $\alpha$에 대하여 $V_{\alpha}=Y \cap G_{\alpha}$를 만족한다. 그리고 $K$는 $X$에 상대적으로 콤팩트이므로 $$K \subset G_{\a.. 수열의 상극한과 하극한 고등학교 수학에서는 수열의 극한을 수렴한다/발산한다 두 가지 경우에 한해 직관적으로만 이해하지만, 해석학에서는 극한의 개념을 보다 엄밀하게 정의($\epsilon - N$논법)하고 이를 상극한과 하극한으로 구분지어 보다 분석적으로 이해한다. 이는 리만적분의 상합과 하합의 개념과 본질적으로 같다. 이번 포스팅에서는 확장실수체계(extended real number system)에서 수열의 상극한과 하극한을 정의하고 그 의미를 고찰해본다. 이 두 가지 극한의 개념은 그 존재성이 항상 보장되기 때문에 극한 계산에서 매우 중요한 역할을 한다. $\left\{s_n \right\}$을 $\mathbb{R}$에서의 수열이라고 하자. 각각의 $k \in \mathbb{N}$에 대하여 $a_k$와 $b_k$를 다음과 .. outer measure와 inner measure를 이용한 $\mu^*$-measurability 의 정의 outer measure의 추상적인 정의의 motivation을 잘 이해할 수 있는 문제. 뿐만 아니라, 임의의 집합의 outer measure를 $\mu^*$-measurable set의 outer measure로 근사하는 테크닉을 배울 수 있는것 역시 제법 큰 수확인거 같다. Problem. Let $\mu ^* $ be an outer measure on \(X \) induced from a finite premeasure \(\mu_0 \). If \(E \subset X \), define the inner measure of \(E\) to be \(\mu _{ * }(E) = \mu_0(X)- \mu^*(E^c)\). Then \(E\) is \(\mu^*\)-measurable iff \.. 이전 1 다음
