해석학/함수해석학 (4) 썸네일형 리스트형 거리공간의 완비정리(Complete Theorem) 어떤 거리 공간이 완비(complete)되어 있다는 말의 의미는 극한(limit)을 다루면서 유실되는 점이 하나도 없다는 뜻이다. 조금 더 부연설명하자면, 유리수 집합에서 $\sqrt{2}$로 수렴하는 수열은 만들 수 있지만 $\sqrt{2}$는 유리수가 아니다. 다시 말해, 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 극한을 구성하는 과정에서 $\sqrt{2}$라는 점을 놓쳐버린 것이다. 완비정리는 이렇게 유실된 점들을 모두 채워넣는 방법을 제공해준다. 완비정리를 증명하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 여기서는 임의의 거리 공간이 완비공간에 어떠한 방식으로 끼워넣어 지는지 명시적(explicitly)으로 드러나는 증명을 소개한다. 정리(완비정리, Complete Theorem) 모든 거리공간 $M=\left(.. 모든 유한차원 벡터공간은 바나흐 공간이다 유한차원 벡터공간은 참 다루기가 편하다. 아닌게 아니라 다음 정리만 봐도 정말 그렇다. 정리 1. 차원이 $n$인 벡터공간 $V$는 $\mathbb{R}^n$과 동형이다. 뿐만이 아니다. 다음 정리를 보자. 정리 2.$\mathbb{R}^n$ 위의 모든 노름은 동치다. 여기서 '두 노름이 서로 동치'라는 말은 각각의 노름이 생성하는 위상이 서로 같다라는 의미다. 다시 말해, 이는 $\mathbb{R}^n$ 상에서는 사용할 수 있는 자(ruler)가 단 하나밖에 없다는 말과 같다. 이를 정리1과 종합해보면 모든 유한차원 벡터공간은 단 하나의 자를 갖는다는 말이 된다. 정의 3.$V$를 노름 벡터 공간이라 하자. $V$가 완비공간이면 $V$를 바나흐 공간(Banach space)이라고 한다. 즉, $V$에서.. 바나흐 공간의 정의와 Example 이번 포스팅에서는 바나흐 공간과 몇 가지 예들을 알아보자. 정의$X$를 노름 벡터 공간이라 하자. $X$가 완비공간이면 $X$를 바나흐 공간(Banach space)이라고 한다. 즉, $X$에서의 임의의 코시 수열이 $X$안에서 수렴하면 $X$는 바나흐 공간이다. 보기 1. 모든 유한 차원 노름공간은 바나흐 공간이다. 증명 $X$의 차원을 $n$이라고 하자. 그러면 $X$는 완비공간 $\mathbb{R^n}$과 동형이다. 보기 2. $C[a, b]$는 균등노름 $\displaystyle ||f||_\infty=\max_{a \leq t \leq b}|f(t)|$에 대하여 완비다. 증명 $ \left\{f_n \right\} $이 $||~||_\infty$에 대하여 코시 수열이라고 하자. 각각의 $t$에 .. 리즈 표현정리(Riesz Representation Theorem) 정리. (리즈 표현정리, Riesz Representation Theorem) 내적공간 $X$에서 정의된 임의의 유계선형범함수 $T:X \rightarrow \mathbb{C}$에 대하여, $T(x) =\langle x, x_0 \rangle$를 만족하는 $x_0 \in X$가 유일하게 존재한다. 증명. 1. 존재성 집합 $N= \left\{x \in X \mid T(x)=0 \right\}$을 선형범함수 $T$의 영공간이라 하자. $N=X$이면 $x_0=0$이다. 이제 $N \neq X$라 하자. 그러면 $N$의 직교여공간 $N^\bot$은 공집합이 아닌 닫힌 집합이다. $x' \in N^\bot$를 $||x'||=1$를 만족하는 원소로 택하고 $x_0=T(x')x'$이라 두자. $y=T(x)x'-xT.. 이전 1 다음