바나흐 공간의 정의와 Example

이번 포스팅에서는 바나흐 공간과 몇 가지 예들을 알아보자.

정의
$X$를 노름 벡터 공간이라 하자. $X$가 완비공간이면 $X$를 바나흐 공간(Banach space)이라고 한다. 즉, $X$에서의 임의의 코시 수열이 $X$안에서 수렴하면 $X$는 바나흐 공간이다.

보기 1. 모든 유한 차원 노름공간은 바나흐 공간이다.

증명 $X$의 차원을 $n$이라고 하자. 그러면 $X$는 완비공간 $\mathbb{R^n}$과 동형이다.

보기 2. $C[a, b]$는 균등노름 $\displaystyle ||f||_\infty=\max_{a \leq t \leq b}|f(t)|$에 대하여 완비다.

증명 $ \left\{f_n \right\} $이 $||~||_\infty$에 대하여 코시 수열이라고 하자. 각각의 $t$에 대하여, $ \left\{f_n(t) \right\} \subset \mathbb{R}$은 코시 수열이므로 $\mathbb{R}$에서 수렴한다. 각각의 $t$에 대하여 $\displaystyle f(t):= \lim_{n\to\infty}f_n(t)$라 정의하자. 먼저 $f \in C[a, b]$를 보이도록 하자. 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여 $n, m \geq N$이면 $$||f_n - f_m ||< \epsilon /3 $$이다. $f_n(t)$는 연속이므로 $\delta>0$가 존재해서 $ |t-s|< \delta $, $t, s \in [a, b]$이면 $$|f_N(t)-f_N(s)|<\epsilon /3$$이다. 따라서 $$|f(t)-f(s)| \leq |f(t)-f_N(t)| + |f_N(t)-f_N(s)| + |f_N(s)-f(s)| < \epsilon $$이다. 그러므로 $f \in C[a, b]$이다. 이제 $||f_n -f||_\infty \to 0$를 보이도록 하자. 모든 $n ,m \geq N$와 모든 $t \in [a, b]$에 대하여 $$|f_n(t)-f_m(t)|<\epsilon$$이므로 $$ \lim_{m \to \infty}|f_n(t) - f_m(t)| = |f_n(t)-f(t)| < \epsilon$$이다. 따라서$||f_n -f||_\infty \to 0$이다.