모든 유한차원 벡터공간은 바나흐 공간이다

유한차원 벡터공간은 참 다루기가 편하다. 아닌게 아니라 다음 정리만 봐도 정말 그렇다.

정리 1. 차원이 $n$인 벡터공간 $V$는 $\mathbb{R}^n$과 동형이다.

뿐만이 아니다. 다음 정리를 보자.

정리 2.$\mathbb{R}^n$ 위의 모든 노름은 동치다.

여기서 '두 노름이 서로 동치'라는 말은 각각의 노름이 생성하는 위상이 서로 같다라는 의미다. 다시 말해, 이는 $\mathbb{R}^n$ 상에서는 사용할 수 있는 자(ruler)가 단 하나밖에 없다는 말과 같다. 이를 정리1과 종합해보면 모든 유한차원 벡터공간은 단 하나의 자를 갖는다는 말이 된다.

정의 3.$V$를 노름 벡터 공간이라 하자. $V$가 완비공간이면 $V$를 바나흐 공간(Banach space)이라고 한다. 즉, $V$에서 임의의 코시 수열이 $V$안에서 수렴하면 $V$는 바나흐 공간이다.

바나흐 공간의 가장 자명한 예는 아마도 실수집합 $\mathbb{R}$이 아닐까 싶다.

정리 4. 실수집합 $\mathbb{R}$은 완비다.

또한, 바나흐 공간의 성질은 곱공간(product space)에 대해서도 보존된다.

정리 5.$V_1$와 $V_2$가 바나흐 공간이면 $V_1 \times V_2$도 바나흐 공간이다.

따름정리 6.유한개의 바나흐 공간 $\left\{V_i \right\}_{i=1}^n$의 곱공간 $\prod_{i=1}^nV_i$은 바나흐 공간이다.

사실 유한차원에서는 바나흐 공간을 정의하는 것이 별다른 의미가 없다. 이는 유한차원만을 다루는 학부 선형대수학 교재에서 바나흐 공간이라는 표현이 등장하지 않는 이유이기도 하다. 다음 정리를 보자.

정리 7.모든 유한차원 벡터공간은 바나흐 공간이다.

증명. $V$를 $n$차원 벡터공간이라 하자. 정리 1에 의해 $V$는 $\mathbb{R}^n$과 동형이다. 정리 4에 의해 $\mathbb{R}$은 바나흐 공간이고, 따름정리 6에 의해 $\mathbb{R}^n$ 또한 바나흐 공간이다. 따라서 $V$는 바나흐 공간이다.